Op deze pagina vind je de nieuwe bachelorprojecten die bij de analysegroep gedaan kunnen worden.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
K.P. Hart
In dit project bekijken en vergelijken we een aantal constructies van niet-meet\-ba\-re verzamelingen, zoals die van Vitali, Van Vleck, Sierpi\'nski, Bernstein, Hausdorff, en Banach en Tarski.
Literatuur: Jech, Thomas J., The axiom of choice, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 75, North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, (1973). (Nu bij Dover te koop.)
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Mark Veraar
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Dorothee Frey
The aim of this project is to study the spaces $H^p$ (named after G.H. Hardy), which are sub-classes of analytic functions on $\mathbb{D}$ and turn out to be appropriate spaces for the study of boundary values. $H^p$ spaces have a variety of interesting properties, some of which, including a factorisation theorem and characterisations in terms of Fourier coefficients, shall be investigated in full detail. \\
Literature: \textbf{Katznelson, Yitzhak}: An introduction to harmonic analysis. Third edition. Cambridge University Press, 2004. \textbf{Koosis, Paul}: Introduction to $H^p$ spaces. Second edition. Cambridge University Press, 1998.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Francois Genoud
The aim of the project is to study rigorous mathematical proofs of existence and uniqueness of "ground states" of such equations. These solutions typically represent the state of lowest energy of the system. We will study two research papers from the early 1980's, by the Dutch mathematician Lambertus A. Peletier (Leiden) and some collaborators, which are now classic papers in the field. The methods are beautiful and quite subtle, but they rely only on ordinary differential equations theory and elementary topology.
More advanced techniques to solve nonlinear elliptic PDEs, based on the calculus of variations in Sobolev spaces, could be considered for students having a stronger taste/background in functional analysis, or for a follow-up Master project.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Wolter Groenevelt
Het doel van dit project is om de bewijzen van deze resultaten te doorgronden.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
Mark Veraar
De Brownse beweging $(W(t))_{t\in \mathbb{R}}$ is een van de belangrijkste stochastische processes in de kansrekening en statistiek. Het treedt op als limietproces van vele natuurlijke situaties (zie bijvoorbeeld hier).
De Brownse beweging is als volgt gedefinieerd. Het is een proces $W:\mathbb{R}\times\Omega\to \mathbb{R}$ dat voldoet aan de volgende eigenschappen:
Een belangrijke stochast die kan worden afgeleid uit $W$ is $V_{\gamma} = \text{argmax}_{t\in \mathbb{R}} [W(t) - \gamma t^2]$. Deze stochast $V_{\gamma}$ heeft de Chernoff verdeling die veel gebruikt wordt in de statistiek (zie [CH]).
In het artikel [CH] is een nieuwe formule gevonden voor de n$^\text{e}$ momenten van $V_{\gamma}$. Deze kun je formuleren in termen van de Airy functie die optreedt als oplossing van een differentiaalvergelijking die veel voor komt in de natuurkunde (zie hier).
Het doel van het bachelorproject is om deze formule te bewijzen en om enkele van de open problemen uit de theorie te bestuderen.
++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++K.P. Hart met Eva Coplakova
Een bekend principe zegt dat als men veel dingen over weinig bakken verdeelt ten minste één bak erg vol zal zijn - dit heet wel het laden/postvak/duivenhok-principe van Dedekind en Dirichlet.
Veel stellingen uit de eindige en oneindige combinatoriek zijn tot stand gekomen door de juiste dingen en bakken te nemen en 'veel' en 'weinig' geschikt te interpreteren, zoals Stelling(en) van Ramsey, de overaftelbare versies hiervan van Erdos en Rado, enzovoort.
Even interessant zijn voorbeelden die de grenzen van deze stellingen laten zien: Sierpínski's partitie van paren reële getallen en de partitie van de paren aftelbare ordinaalgetallen door Todorcevic.
Doel van dit project is het zich eigen maken van een aantal stellingen en tegenvoorbeelden uit dit deel van de verzamelingenleer.
[EH] P. Erdos, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado, Combinatorial set theory: partition relations for cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 106, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984, p.347, 0-444-86157-2, MR795592 (87g:04002)
De beschrijvende verzamelingenleer houdt zich, zoals de naam suggereert, bezig met deelverzamelingen van $\mathbb R$ die op één of andere manier goed te beschrijven zijn, zoals de open en gesloten verzamelingen, de Borelverzamelingen, de Lebesgue-meetbare verzamelingen,...
Dit project biedt een eerste kennismaking met dit gebied. Mogelijke onderwerpen: de structuur van Borelverzamelingen, natuurlijk voorkomende verzamelingen die wel meetbaar zijn maar niet Borel, de Galvin-Prikry-stelling over Borel-partities.
[KA] Kechris, Alexander S., Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Mathematics, 156, Springer-Verlag, New York, 1995, viii+402, 0-387-94374-9, MR1321597 (96e:03057)
[KA] Kuratowski, K., Topology. Vol. I, Academic Press, New York, 1966, xx+560, MR0217751 (36 \#840)
Mark Veraar
Laat $X_1, X_2, \ldots$ een rij onafhankelijke kansvariabelen zijn en definieer \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i, \ \ n\geq1.\] In de kansrekening en analyse spelen ongelijkheden voor $S_n^* :=\max_{1\leq k\leq n} |S_k|$ een belangrijke rol. De Lévy-Octaviani ongelijkheden zeggen dat: \[\mathbb{P}(S_n^*>t) \leq 3 \max_{1\leq i\leq n} \mathbb{P}(|S_i|>t/3), \ \ t\geq 0 \ \ \ \ \ \ (*)\] en als de $X_i$'s ook nog symmetrisch of gelijkverdeeld zijn, dan kun je dit verbeteren tot (zie [MS]) \[\mathbb{P}(S_n^*>30 t) \leq 9\mathbb{P}(|S_n|>t).\]
Recentlijk is in het artikel [La] de volgende variatie van de ongelijkheid $(*)$ bewezen: voor alle $a_1, \ldots, a_n\in \mathbb{R}$ geldt \[\mathbb{P}\Big(\max_{1\leq k\leq n}\Big||S_k| - a_k\Big| >11 t\Big)\leq 30\max_{1\leq k\leq n} \mathbb{P}\Big(\Big||S_k| - a_k\Big| > t\Big), \ \ \ t\geq 0\] Deze extra $a_k$'s kunnen erg handig zijn in toepassingen. In [LA] wordt ook bewezen dat de bovenstaande ongelijkheid niet waar is voor kansvariabelen $X_i$ met waarden in $\mathbb{R}^d$. Wel worden er variaties van de ongelijkheid bestudeerd en open vragen geformuleerd.
Doel van het bachelor project is om bovenstaande dingen in kaart te brengen en mogelijk een stap verder te komen in het begrip van dit soort ongelijkheden.
[LA] R. Latala, Maximal inequalities for centered norms of sums of independent random vectors, Proceedings High Dimensional Probability VI, Banff 2011. http://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/papers/HDPVIrev.pdf
[MS] S. Montgomery-Smith, Comparison of sums of independent identically distributed random vectors, Probab. Math. Statist. 14 (1993), 281--285.