Student Projects

Bachelor projects.

Jan van Neerven

Bachelor projecten op het raakvlak wiskunde/natuurkunde.

Cluster State Quantum Repeaters for Quantum Communication

More information is contained in this PDF file.

Quantum theory of superresolution for two incoherent optical point sources

More information is contained in this PDF file.

Afbeelden zonder lens door fase-reconstructie via intensiteitsmetingen van verstoorde optische velden.

Meer informatie in dit file.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Jan van Neerven

Bachelor projecten op het raakvlak wiskunde/filosofie.

K.P. Hart

Niet-meetbare verzamelingen.

De $\sigma$-algebra van Lebesgue-meetbare verzamelingen is zeer belangrijk in de Analyse en kansrekening. De natuurlijke vraag of \emph{elke} deelverzameling van $\mathbb{R}$ Lebesgue-meetbaar is is veelvuldig negatief beantwoord.

In dit project bekijken en vergelijken we een aantal constructies van niet-meet\-ba\-re verzamelingen, zoals die van Vitali, Van Vleck, Sierpi\'nski, Bernstein, Hausdorff, en Banach en Tarski.

Eindigheid en permutatiemodellen.

Wat is een goede wiskundige definitie van `eindig'? Daar hebben diverse wiskundigen diverse antwoorden op bedacht. De meest gebruikte definitie is die waar we eigenlijk niet bij nadenken: een verzameling, $X$, is eindig als een natuurlijk getal $n$ en een bijectie $f:X \to \{i\in\mathbb{N}:i < n \} $ bestaan (hier nemen we aan dat $0\in\mathbb{N}$). Dedekind noemde $X$ eindig als elke injectieve afbeelding $f:X\to X$ surjectief is --- dit heet nu Dedekind-eindig.

Er zijn nog meer manieren om `eindig' te defini\"eren. In dit project bekijken we er een paar en hun onderlinge verbanden. Ook zullen we zien hoe je, met behulp van permutatiemodellen, kunt laten zien dat niet elke Dedekind-eindige verzameling eindig is.

Literatuur: Jech, Thomas J., The axiom of choice, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Vol. 75, North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London; American Elsevier Publishing Co., Inc., New York, (1973). (Nu bij Dover te koop.)

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Dorothee Frey

Boundary values of analytic functions on the disc.

Let $\mathbb{D}:=\{z \in \mathbb{C}:\,|z|<1\}$ denote the complex unit disc, and $\mathbb{T}=\partial \mathbb{D}$ the complex unit circle. In order to solve the Dirichlet problem on $\mathbb{D}$, $$ \Delta u=0 \; \text{in}\ \mathbb{D}, \quad u=f \; \text{on}\ \partial\mathbb{D} $$ for a given function $f$, one has to extend $f$ analytically from the circle $\mathbb{T}$ to the disc $\mathbb{D}$. Such an extension is formally given by the \emph{Poisson integral} $$ f(re^{i\theta})= \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{\pi} P_r(\theta-t) f(e^{it})\,dt, $$ where $P_r$ denotes the Poisson kernel $$ P_r(t)= \sum_{n=\infty}^{\infty} r^{|n|} e^{int}, \qquad r \in (0,1], \; t \in \mathbb{T}. $$ Vice versa, one can define a boundary function on $\mathbb{T}$ of a function $f$ on $\mathbb{D}$ by $$f(e^{it}) = \lim_{r \to 1} f(re^{it}).$$ One asks for which classes of functions the above is possible, and in which sense the above limit can be taken.

The aim of this project is to study the spaces $H^p$ (named after G.H. Hardy), which are sub-classes of analytic functions on $\mathbb{D}$ and turn out to be appropriate spaces for the study of boundary values. $H^p$ spaces have a variety of interesting properties, some of which, including a factorisation theorem and characterisations in terms of Fourier coefficients, shall be investigated in full detail.

Literature: Katznelson, Yitzhak: An introduction to harmonic analysis. Third edition. Cambridge University Press, 2004. Koosis, Paul: Introduction to $H^p$ spaces. Second edition. Cambridge University Press, 1998.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Francois Genoud

Ground states of nonlinear elliptic PDEs.

Nonlinear elliptic partial differential equations (PDEs) play a central role in major areas of mathematical physics, as diverse as quantum field theory, water waves, nonlinear optics, Bose–Einstein condensates, just to name a few. They typically arise as stationary equations and their solutions, although not varying in time, are structurally important in the dynamics of the system.

The aim of the project is to study rigorous mathematical proofs of existence and uniqueness of "ground states" of such equations. These solutions typically represent the state of lowest energy of the system. We will study two research papers from the early 1980's, by the Dutch mathematician Lambertus A. Peletier (Leiden) and some collaborators, which are now classic papers in the field. The methods are beautiful and quite subtle, but they rely only on ordinary differential equations theory and elementary topology.

More advanced techniques to solve nonlinear elliptic PDEs, based on the calculus of variations in Sobolev spaces, could be considered for students having a stronger taste/background in functional analysis, or for a follow-up Master project.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Mark Veraar

De Brownse beweging en de Airy functie

De Brownse beweging $(W(t))_{t\in \mathbb{R}}$ is een van de belangrijkste stochastische processes in de kansrekening en statistiek. Het treedt op als limietproces van vele natuurlijke situaties (zie bijvoorbeeld hier).

De Brownse beweging is als volgt gedefinieerd. Het is een proces $W:\mathbb{R}\times\Omega\to \mathbb{R}$ dat voldoet aan de volgende eigenschappen:

  1. $W(0) = 0$,
  2. voor alle $t>s$ geldt $W(t) - W(s)$ is normaal verdeeld met verwachting 0 en variantie $t-s$,
  3. $W$ heeft onafhankelijke aangroeiingen,
  4. $W$ heeft continue paden.

Een belangrijke stochast die kan worden afgeleid uit $W$ is $V_{\gamma} = \text{argmax}_{t\in \mathbb{R}} [W(t) - \gamma t^2]$. Deze stochast $V_{\gamma}$ heeft de Chernoff verdeling die veel gebruikt wordt in de statistiek (zie [CH]).

In het artikel [CH] is een nieuwe formule gevonden voor de n$^\text{e}$ momenten van $V_{\gamma}$. Deze kun je formuleren in termen van de Airy functie die optreedt als oplossing van een differentiaalvergelijking die veel voor komt in de natuurkunde (zie hier).

Het doel

Het doel van het bachelorproject is om deze formule te bewijzen en om enkele van de open problemen uit de theorie te bestuderen.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

K.P. Hart met Eva Coplakova

Partitiestellingen

Een bekend principe zegt dat als men veel dingen over weinig bakken verdeelt ten minste één bak erg vol zal zijn - dit heet wel het laden/postvak/duivenhok-principe van Dedekind en Dirichlet.

Veel stellingen uit de eindige en oneindige combinatoriek zijn tot stand gekomen door de juiste dingen en bakken te nemen en 'veel' en 'weinig' geschikt te interpreteren, zoals Stelling(en) van Ramsey, de overaftelbare versies hiervan van Erdos en Rado, enzovoort.

Even interessant zijn voorbeelden die de grenzen van deze stellingen laten zien: Sierpínski's partitie van paren reële getallen en de partitie van de paren aftelbare ordinaalgetallen door Todorcevic.

Doel van dit project is het zich eigen maken van een aantal stellingen en tegenvoorbeelden uit dit deel van de verzamelingenleer.

Bibliografie

[EH] P. Erdos, A. Hajnal, A. Máté, R. Rado, Combinatorial set theory: partition relations for cardinals, Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, 106, North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1984, p.347, 0-444-86157-2, MR795592 (87g:04002)


Naar boven

Beschrijvende verzamelingenleer

De beschrijvende verzamelingenleer houdt zich, zoals de naam suggereert, bezig met deelverzamelingen van $\mathbb R$ die op één of andere manier goed te beschrijven zijn, zoals de open en gesloten verzamelingen, de Borelverzamelingen, de Lebesgue-meetbare verzamelingen,...

Dit project biedt een eerste kennismaking met dit gebied. Mogelijke onderwerpen: de structuur van Borelverzamelingen, natuurlijk voorkomende verzamelingen die wel meetbaar zijn maar niet Borel, de Galvin-Prikry-stelling over Borel-partities.

Bibliografie

[KA] Kechris, Alexander S., Classical descriptive set theory, Graduate Texts in Mathematics, 156, Springer-Verlag, New York, 1995, viii+402, 0-387-94374-9, MR1321597 (96e:03057)
[KA] Kuratowski, K., Topology. Vol. I, Academic Press, New York, 1966, xx+560, MR0217751 (36 \#840)

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Mark Veraar

Maximaal ongelijkheden voor sommen van onafhankelijke kansvariabelen

Laat $X_1, X_2, \ldots$ een rij onafhankelijke kansvariabelen zijn en definieer \[S_n = \sum_{i=1}^n X_i, \ \ n\geq1.\] In de kansrekening en analyse spelen ongelijkheden voor $S_n^* :=\max_{1\leq k\leq n} |S_k|$ een belangrijke rol. De Lévy-Octaviani ongelijkheden zeggen dat: \[\mathbb{P}(S_n^*>t) \leq 3 \max_{1\leq i\leq n} \mathbb{P}(|S_i|>t/3), \ \ t\geq 0 \ \ \ \ \ \ (*)\] en als de $X_i$'s ook nog symmetrisch of gelijkverdeeld zijn, dan kun je dit verbeteren tot (zie [MS]) \[\mathbb{P}(S_n^*>30 t) \leq 9\mathbb{P}(|S_n|>t).\]

Recentlijk is in het artikel [La] de volgende variatie van de ongelijkheid $(*)$ bewezen: voor alle $a_1, \ldots, a_n\in \mathbb{R}$ geldt \[\mathbb{P}\Big(\max_{1\leq k\leq n}\Big||S_k| - a_k\Big| >11 t\Big)\leq 30\max_{1\leq k\leq n} \mathbb{P}\Big(\Big||S_k| - a_k\Big| > t\Big), \ \ \ t\geq 0\] Deze extra $a_k$'s kunnen erg handig zijn in toepassingen. In [LA] wordt ook bewezen dat de bovenstaande ongelijkheid niet waar is voor kansvariabelen $X_i$ met waarden in $\mathbb{R}^d$. Wel worden er variaties van de ongelijkheid bestudeerd en open vragen geformuleerd.

Het doel

Doel van het bachelor project is om bovenstaande dingen in kaart te brengen en mogelijk een stap verder te komen in het begrip van dit soort ongelijkheden.

Bibliografie

[LA] R. Latala, Maximal inequalities for centered norms of sums of independent random vectors, Proceedings High Dimensional Probability VI, Banff 2011. http://www.mimuw.edu.pl/~rlatala/papers/HDPVIrev.pdf
[MS] S. Montgomery-Smith, Comparison of sums of independent identically distributed random vectors, Probab. Math. Statist. 14 (1993), 281--285.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

K. P. Hart

Additive structures in `large' subsets of Z

For a subset $A$ of $Z$ we define its asymptotic upper density, $d^*(A)$, as the $\limsup$ of $|A\cap\{m,\ldots,n\}|/(n-m)$ as $m$ goes to $-\infty$ and $n$ to $\infty$.

An elementary result is that when $d^*(A)>0$ the set $A-A$ of differences of members of $A$ ($\{x-y:x,y\in A\}$) is quite dense: there is a natural number K such that $Z$ is the union of the translates $(A-A)+k$ with $k=0,\ldots,K$.

In 2002 Jin discovered an important generalization of this result and in 2010 Beiglböck found an elegant and short proof of Jin's theorem using ultrafilters.

The purpose of this project is to understand this latter proof and look for possible extensions.

R. Jin, The sumset phenomenon, Proceedings of the American Mathematical Society 130 (2002), 855–861. M. Beiglböck, An ultrafilter approach to Jin's theorem, Israel J. Math. 185 (2011), 369–374.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Tom Vroegrijk

Multifuncties

In financiële wiskunde en speltheorie wordt regelmatig gebruik gemaakt van multifuncties. Dit zijn functies van een verzameling $X$ naar de machtsverzameling van een zekere verzameling $Y$. De beelden van punten uit $X$ zijn in dit geval dus verzamelingen en geen punten. De tak van de wiskunde waarin multifuncties tussen genormeerde ruimten bestudeerd worden noemen we set-valued analysis of meerwaardige analyse. Veel klassieke resultaten uit analyse hebben een meerwaardig analogon. Zo kan de bekende fixpuntstelling van Brouwer veralgemeend worden tot multifuncties. In dit geval worden er voldoende voorwaarden gegeven opdat er voor een multifunctie F een punt $x$ in $X$ bestaat zodat $x$ in $F(x)$. Deze stelling werd trouwens gebruikt door John Nash om het bestaan van Nash-equilibria te bewijzen (een ontdekking waarvoor hij later de Nobelprijs voor economie zou krijgen).

Een aspect van multifuncties waar ook op dit moment nog volop onderzoek naar wordt gedaan is het zoeken naar continue selecties. Hierbij stellen we ons de vraag welke voorwaarden op $X$ en $Y$ garanderen dat voor elke multifunctie $F$ van $X$ naar $Y$ een continue functie $f$ van $X$ naar $Y$ bestaat zodat $f(x)$ een element is van $F(x)$ voor elke $x$ in $X$. De basis voor dit onderzoeksdomein werd gelegd door Ernest Michael in een reeks van drie artikels. In dit project gaan we dieper in op het eerste artikel uit deze reeks.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Johan Bosman

Elliptic curves and Diophantine equations

In the third century AD, Diophantos of Alexandria stated the following remarkable theorem: If a positive rational number $k$ is the difference of two positive rational cubes, $k=a^3-b^3$ say, then it is also the sum of two positive rational cubes: $k=c^3+d^3$.

For instance, we have $7=2^3-1^3$, and also $7=\left(\frac{5}{3}\right)^3+\left(\frac{4}{3}\right)^3$. However, $c$ and $d$ are not always that simple: we have $817=17^3-16^3$, but the simplest way to write $817$ as the sum of two positive rational cubes is $817=\left(\frac{941418309146611279}{104971534766921823}\right)^3 + \left(\frac{480100252061526080}{104971534766921823}\right)^3$.

Unfortunately many works by Diophantos have been lost, and it is unknown whether he actually had a proof for his theorem. Nowadays we interpret it in terms of curves: The equation $x^3+y^3=k$ defines a curve $E$ in the plane that happens to carry the structure of an {\it elliptic\/} curve. In this language, Diophantos's theorem says that if $E$ has a rational point $(a,b)$ with $a$ or $b$ negative, then it also has a rational point $(c,d)$ with strictly positive coordinates.

In general, a Diophantine equation is an equation to which we seek integer or rational solutions. Another famous example of a Diophantine equation is $x^n+y^n=z^n$, which, according to Wiles, has no non-zero integer solutions for $n\geq 3$.

The aim of this project is to learn the basic properties of elliptic curves and to use them to solve certain kinds of Diophantine equations (proving Diophantos's theorem could be a nice warm-up exercise).

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Wolter Groenevelt

Wigner's semicircle law

In the 1950's Eugene Wigner considered so-called random matrices, square matrices which have random variables as matrix elements, in order to study the energy levels of large atoms. This is considered to be the starting point of random matrix theory (see e.g. wikipedia: random matrix). Wigner proved the following fundamental result, which is called the semicircle law:

Let $A=(a_{ij})$ be a symmetric $N \times N$ matrix, such that

  • The two sets $\{a_{ij} \mid 1 \leq i < j \leq N\}$ and $\{a_{ii} \mid 1 \leq i \leq N\}$ are sets of independent identically distributed random variables.
  • $\mathbb E(a_{ij}) =0$ for all $i$ and $j$ ($\mathbb E$ denotes the expectation).
  • $\mathbb E(a_{ij}^2) = \begin{cases} 1 & i \neq j,\\ 2 & i = j. \end{cases}$

If $N$ is large enough, then the distribution of eigenvalues of $A/\sqrt{N}$ approximates the semicircle distribution $\frac{1}{2\pi} \sqrt{4-x^2}$.

The goal of this project is to study and understand the proof of the semicircle law.

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

Back