De Lemniscaat

Klaas Pieter Hart

Oktober, 1999

Abstract:

De Lemniscaat is een kromme die lijkt op een 8 of op het $\infty$-teken.

Het woord lemniscaat komt, hoe kan het anders, uit het Latijn en wel van lemniscatus wat `versierd met linten' betekent; en inderdaad, een lemniscaat lijkt wel een beetje op een strikje (zonder de losse uiteinden).

$$\includegraphics{lemniscaat-1.eps}$$

Er zijn eigenlijk diverse lemniscaten maar we bekijken hier alleen de lemniscaat van Bernoulli, zogenoemd omdat Jakob Bernoulli in 1694 de vergelijk ervan afleidde.

Deze leniscaat is op een paar manieren te beschrijven. De eerste manier lijkt een beetje op de definitie van een ellips, met het woord `som' vervangen door het woord `produkt'. Neem een getal $c$ en daarbij de punten $F_1=(-\frac12 \sqrt2c,0)$ en $F_2=(\frac12 \sqrt2c,0)$ in het vlak; de lemniscaat met brandpunten $F_1$ en $F_2$ is de verzameling van die punten $X=(x,y)$ met $XF_1\cdot XF_2=\frac12 c^2$.

$$\includegraphics{lemniscaat-2.eps}$$

Als je dit netjes uitwerkt krijg je de volgende vergelijking voor onze lemniscaat

$$(x^2+y^2)^2=c^2(x^2-y^2),$$

je zult zien waarom de factor $\frac12 \sqrt2$ ingevoerd is. Hiermee is de lemniscaat echter nog niet zo makkelijk te tekenen; dat gaat makkelijker als je een parametrisering kunt vinden. Denk aan de cirkel om $(0,0)$ met straal $r$: een vergelijking is $x^2+y^2=r^2$, een parametrisering is

$$\cases{x=\cos t\cr y=\sin t.\cr}$$

Een computerprogramma kan door voor een heleboel waarden van $t$ een punt te plotten de suggestie van een cirkel op je scherm wekken.

De lemniscaat kun je ook maken door een hyperbool in een cirkel te spiegelen. Spiegelen in een cirkel met middelpunt $M$ en straal $r$ gaat als volgt: trek vanuit $M$ de halve lijn door je punt $P$, het spiegelbeeld van $P$ ten opzichte van de cirkel is het punt $P'$ op de halve lijn met $MP\cdot MP'=r^2$.

$$\includegraphics{lemniscaat-3.eps}$$

Voor onze lemniscaat nemen we de cirkel om $(0,0)$ met straal $c$ en de hyperbool met vergelijking $x^2-y^2=c^2$. De hyperbool heeft een mooie parametrisering:

$$\cases{x=c/\cos t\cr y=c\tan t,\cr}$$

dit kun je verifiëren door invullen in de vergelijking.

Het spiegelpunt van $P=(x,y)$ ten opzichte van de cirkel is vrij eenvoudig te vinden: bedenk dat $P'$ een veelvoud van $P$ moet zijn. We vinden dan dat $P'$ de volgende coördinaten heeft: $x'=cx/(x^2+y^2)$ en $y'=cy/(x^2+y^2)$. Voor de punten op de hyperbool levert dit:

$$\cases{x'=\displaystyle\frac{c\cos t}{1+\sin^2 t}\cr\noalign... ...\jot} y'=\displaystyle\frac{c\sin t\,\cos t}{1+\sin^2 t}.\cr}$$

Hiermee is het plotten van de lemniscaat niet zo moeilijk meer. Je kunt in de eerste definitie van de lemniscaat natuurlijk gaan variëren en kijken wat er gebeurt als je eist dat $XF_1\cdot XF_2=a^2$ met $a$ willekeurig (maar vast). Je krijgt dan zogenaamde ovalen van Cassini. Als $a\ge c$ dan is deze nog convex, voor $\frac12 \sqrt2c<a<c$ heeft de kromme twee deuken en als $a<\frac12 \sqrt2c$ dan krijg je twee losse ovaaltjes. Op de atlas-van-alle-krommen kun je daar meer over lezen.