Wat is het wel?

In 1690 stelde Jacob Bernoulli het probleem van de juiste beschrijving van de vorm van het touw aan de muur weer aan de orde. Een jaar later werd het probleem opgelost door Leibniz, Huygens en Johann Bernoulli (Jacob's broer, Johann was daar zo trots op dat hij er vele jaren later nog over opschepte -- vooral omdat zijn broer het niet gevonden had). Leibniz en Huygens gaven de kromme de naam catena, wat Latijn voor ketting is; in het Nederlands noemen we de kromme dan ook kettinglijn.

De oplossing van het probleem is, met de methoden die nu tot onze beschikking staan, relatief eenvoudig. De sleutel tot de oplossing is vergelijking $(1)$; als $f$ de functie is die we zoeken dan zegt $(1)$ eigenlijk $f'(x)=ks(x)$, hierin stelt $s(x)$ de lengte van de grafiek van $f$ tussen $0$ en $x$ voor. Nu geldt $s'(x)=\sqrt{1+f'(x)^2}$ en dus kunnen we formule $(1)$ naar $x$ differentiëren; we krijgen dan een differentiaalvergelijking voor $f$:

$$f''(x)=k\sqrt{1+f'(x)^2}.$$

Het blijkt dat de functie die aan deze vergelijking voldoet er als volgt uit ziet:

$$f(x)=\frac1k\frac{e^{kx}+e^{-kx}}2.$$

Dit was in die dagen iets nieuws: een eenvoudig mechanisch/statisch probleem dat in de oplossing $e$-machten nodig had!