Er is een puzzel die uit drie stukken bestaat en die je op twee manieren in elkaar kunt leggen: je kunt er een cirkel van maken of een cirkel en één extra punt. Je maak hem als volgt: neem de cirkel x2+y2=1 in het platte vlak en neem het punt p met coördinaten (1,0). Ons eerste puzzelstuk Q1 bestaat uit alleen het punt p. Het tweede stuk Q2 maak je door p over 1, 2, 3, ... radialen te roteren, dus Q2={( cos n, sin n) : n=1,2,3,4,...}. Het derde stuk Q3 bestaat uit alle overgebleven punten op de cirkel.
Het is duidelijk dat we met Q1, Q2 en Q3 precies de cirkel overdekken. Als we het stuk Q2 over 1 radiaal met de klok mee draaien hebben we de cirkel ook precies overdekt, maar dan alleen met de stukken Q2 en Q3, het stuk Q1 blijft dan over. De reden dat dit werkt is dat de punten (cos n,sin n) allemaal verschillend zijn (in het bijzonder zit p niet in Q2) hierdoor kan Q2 de rol spelen van het stuk P2 uit de vorige puzzel.
Aan deze puzzel kun je zo zien dat hij nooit in de winkel kan komen: er is geen mes scherp genoeg om de verzameling Q2 uit de cirkel los te peuteren. Probeer Q2 maar eens met de grafische rekenmachine te plotten, bijvoorbeeld de punten ( cos 1, sin 1) tot en met ( cos 100, sin 100); je zult zien dat Q2 overal dicht op de cirkel ligt.
We kunnen het ook zo regelen dat Q2 gemist kan worden. Dat doen we door Q3 in twee stukken Q3a en Q3b te verdelen. Q3a maken we door Q2 over wortel2 , 2wortel2 , 3wortel2 , ... radialen te roteren en Q3b bestaat uit wat van Q3 overblijft. Nu hebben we de cirkel met Q1, Q2, Q3a en Q3b overdekt maar het kan ook met Q1 , Q3b en door Q3a wortel2 radialen met de klok mee te draaien; Q2 is dan niet meer nodig.
Je ziet dat bij sommige puzzels bepaalde stukken weggelaten kunnen worden. Bij de cirkel is dat het beste dat je kunt verwachten; de reden is dat daar niet genoeg speling in zit: er is in feite maar één draairichting. Bij de bal en de bol is dat anders, daar kun je door twee draairichtingen te mixen de puzzelstukjes van Hausdorff, Banach en Tarski creëren.
|
|
|
|