Je zou denken dat er toch ergens een fout in de redenering moet zitten omdat we zomaar een volume verdubbeld hebben. De 40 stukken waarin we de bol verdeelt hebben geven samen 4pi/3 (het volume van één bol) maar ze geven ook 8pi/3 (het volume van twee bollen).
Er zit geen fout in de redenering maar in het argument ertegen: daarin wordt stilzwijgend aangenomen dat onze puzzelstukken een inhoud hebben. En dat is nou net waar het Hausdorff, Banach en Tarski om te doen was: laten zien dat die stilzwijgende aanname niet deugt. De juiste conclusie is dat de puzzelstukken zo raar zijn dat er met goed fatsoen geen volume aan toe te kennen is. Als je ze, in gedachten, in een glas water doopt lijken ze allemaal inhoud 4pi/3 te hebben maar als je ze, in gedachten, met water zou willen vullen blijkt er niets in te kunnen.